2.1
Pengertian Induksi
Matematika
Induksi Matematika merupakan suatu
teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika
digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal
statements " n Î A S(n) dengan A Ì N dan N adalah himpunan bilangan positif atau
himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.
2.2
Prinsip-prinsip
Induksi Matematika
2.2.1. Induksi Sederhana.
Misalkan p(n) adalah
pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan
ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1.
p(1) benar, dan
2.
Jika p(n) benar maka p(n
+ 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat
positif n ³ 1,
Langkah 1 dinamakan basis induksi,
sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi.
Langkah induksi berisi asumsi
(andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut
dinamakan hipotesis induksi.
-Bila kita sudah menunjukkan kedua
langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh 1. Gunakan
induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n
= 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1.
Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi: Andaikan p(n)
benar, yaitu pernyataan
1 + 3 +
5 + … + (2n – 1) = n2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan
ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa
p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n
– 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita
tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + …
+ (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n
– 1)] + (2n +1)
= n2
+ (2n + 1)
= n2
+ 2n + 1
= (n + 1)2
Karena langkah
basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama
adalah n2.
2.2.2.
Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Misalkan p(n) adalah
pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n)
benar untuk semua bilangan bulat n
³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya
perlu menunjukkan bahwa:
1.
p(n0) benar, dan
2.
jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,
untuk semua bilangan bulat n ³
n0,
Contoh 2.
Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik
bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1
- 1
Penyelesaian:
(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif
pertama), kita peroleh:
20 =
20+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 20 =
1
= 20+1 – 1
= 21 – 1
= 2 – 1
= 1
(ii) Langkah
induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu
20
+ 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan
bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
20
+ 21 + 22 + … + 2n
+ 2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1
juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22
+ … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis
induksi)
= (2n+1
+ 2n+1) – 1
=
(2 . 2n+1) – 1
=
2n+2 - 1
=
2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah
1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat
tidak-negatif n, terbukti bahwa 20
+ 21 + 22 + … + 2n
= 2n+1 – 1
2.2.3.
Prinsip Induksi Kuat
Misalkan
p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa
p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ³ n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya
perlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika
p(n0 ), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar
untuk semua bilangan bulat n ³ n0,.
Contoh 4.
Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika
bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin
membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ³ 2) dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan
dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian:
Basis induksi. Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan
prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan
prima, yaitu dirinya sendiri.
Langkah induksi. Misalkan
pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n
dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah
benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada
dua kemungkinan nilai n + 1:
(a)
Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas
ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
(b)
Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka
terdapat bilangan bulat positif a
yang membagi habis n + 1 tanpa sisa.
Dengan kata lain,
(n + 1)/ a = b atau (n
+ 1) = ab
yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £ n.
Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian
satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima,
karena n + 1 = ab. Karena langkah (i) dan (ii) sudah
ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n
³ 2) dapat dinyatakan
sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
2.3 Pengertian
Teori Binomial
Teori
binomial merupakan perpangkatan dari jumlah atau selisih dua suku tanpa
mengkalikan atau menjabarkannya , yang memuat tepat dua suku yang dipisahkan
oleh tanda “+” , atau tanda “-“ sebagai contoh x+y, 2x-5y.
2.4 DasarTeori Binomial
Untuk mengetahui binomial ada beberapa materi
yang harus dikuasai terlebih dahulu.Diantaranya :
Ø Notasi Faktorial
Faktorial
adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Untuk
setiapbilangan asli n, didefinisikan:
n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x (n-1) x n lambang atau notasi n! dibaca sebagai n
faktorial untuk n > 2 n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n
× (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 ×
Contoh :
2! = 1∙2 = 2, 3! = 1∙2∙3 = 6 4! = 1∙2∙3∙4
= 24
5! = 1∙2∙3∙4∙5
= 120, n! = 1∙2∙3…n, (r – 1) ! = 1∙2∙3…(r – 1)
Ø Kombinasi
Susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang
tidak mementingkan urutan elemen.
Kombinasi r elemendari n elemenditulis
:
nKr
Ø Segitiga Pascal
Membahas mengenai Teori Binomial tidak akan lepas dari segitiga pascal. Segitiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada pekali binomial dalam sebuah segitiga.Penemu segitiga pascal adalah seorang ahli matematika yang bernama Blaise Pascal yang berasaldaridunia barat.Barisan segitiga Pascal
secara kebiasaannya dihitung bermula dengan barisan kosong, adalah barisan genap.Pembinaan mudah pada segitiga dilakukan dengan cara berikut. Di barisan sifar, hanya tuli snomor 1.Kemudian, untuk membina unsur-unsur barisan berikutnya,
tambahkan nomor di atas dan di kiri dengan nomor secara terus di atas dan di kanan untuk mencari nilai baru.Jikalau nomor di kanan atau kiri tidak wujud, gantikan suatu kosong pada tempatnya.Contohnya, nomor pertama di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mananomor 1 dan 3 barisan keempat.
1
1 1
1 2 1
1 3
3 1
1 4
6 4 1
1 5 10 10
5 1
1 6 15 20 15
6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1
8 28 56 70 56 28
8 1
2.5
.Teori Binomial
2.5.1 Ekspansi
Ekspansi merupakan salah satu penjabaran yang
terdapat
dalam Teori Binomial
Newton.Ekspansi
atau yang
sering kita sebu tpenjabaran adalah cara menguraikan soal-soal teori binomial
yang berbentuk
perpangkatan dari hasil perkalian berulang.
Misalnyauntuk n = 1,n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, dengan mengkalikansetiap factor diperoleh hasi l2orekspansi sebagai berikut :
Ciri-ciri ekspansi yang
benar untuk bilangan bulat positif
1.
Banyak suku di
ruas kanan adalah satu suku lebih banyak daripada pangkatnya atau eksponennya.
Hal ini memberikan gambaran ekspansi
suku.
2.
Suku pertama
dari adalah dan suku terakhir adalah
3.
Perhatikan
hasil ekspansi pada ruas kanan. Jika dibaca dari kiri ke kanan, eksponen dari a
berkurang 1 dan eksponen untuk b bertambah 1.
2.5.2 Koefisien Binomial
Koefisian adalah nilai atau ketetapan,
koefisien binomial merupakan nilai yang terdapatdi depan suku-suku binom yang
sudah di ekspansikan. Untuk mengetahui koefisiennya, harus diekspansikan terlebih dahulu.Dan untuk mengekspansikannya tinggal mengkalikan sesuai dengan eksponennya atau mengikuti aturan dalam segitiga pascal.Namun,
bukan berarti untuk mengetahui koefisiennya hanyam engikuti nilai-nilai
yang terdapat
dalam segitiga pascal.Karena hal tersebut dianggap kurang efisien, maka untuk mengetahui koefisiennya
ada formula yang lebih efisien sebagai berikut :
Xn-r . yr = . an-r . br
2.5.3 Hubungan Kombinasi dengan Binomial
Perhatikan ilustrasi dibawah ini :
=
Penjabaran dari merupakan perkalian 3
faktor
=
Kemudian
dipilih bagian yang ingin dikalikan dari ketiga factor tersebut.Misalnya,
untuk
bagian pertama
diambil a, bagian kedua diambil a, dan bagian ketiga jug adiambil
a, maka diperoleh hasila aa.
Jika diambil a pada factorkesatu dan kedua,
factor
ketiga
diambil b, maka akan diperoleh aab,
begitu
seterusnya.
Sehingga kemungkinan pemilihan baik
a maupun b terpilih secara sama. Dari hasil pengkalian
3 faktor tersebut akan diperoleh
:
aaa,aab,aab,aab,abb,abb,abb,bbb = a3,a2b,
a2b, a2b,ab2, ab2 ,ab2,b3
Jika semuasuku
di atas dijumlahkan maka akan dihasilkan
: a3+3a2b+3ab2+b3
Bilangan
3 yang merupakan koefisien dari
a2b muncul dari pemilihandari
2 faktordan b dari 1 faktorsisa-nya. Hal ini biasa dilakukan dalam atau
. Cara yang sama biasa dilakukan untuk memperoleh koefisien yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari
0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau , dan seterusnya. Melalui hubungan kombinasidengan teorema
binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema
binomial sebagai berikut.
atau
Sifat-sifat perluasan ( a+b )n
·
Suku pertama adalah an dan suku terahir adalah bn
·
Jika kita berjalan dari suku pertama
menuju suku terahir, maka pangkat dari a turun satu-satu dan pangkat
dari b naik satu-satu
·
Jumlah pangkat dari a dan b pada setiap suku sama dengan n
·
Terdapat n+1 suku
·
Koefisien suku pertama adalah , koefisien suku kedua
adalah , dan seterusnya dengan = dan 0 ≤
r ≤ n
2.5.4. Menetukan
Suku Pada Binom
Seperti yang
telah dijelaskan sebelumnya mengenai teori binomial yang merupakan
perpangkatan yang terdiri dari dua suku
yang dipisahkan oleh tanda “+”, “-“. Berdasarkan pengertian tersebut kita dapat
mengubah dari binom yang bentuknya pangkat menjadi tidak berpangkat dengan cara
menjabarkannya.Sehingga yang awalnya terdiri dari dua suku menjadi lebih dari
dua suku.
Adapun cara
lain untuk mencari suku ke-n tanpa menggunakan penjabaran yaitu dengan
menggunakan rumus berikut :
Suku ke-(r+1) = xn-ryr,
adapun formula untuk menentutakan suku ke r dari (a+x)n=
2.6
Soal
dan pembahasan induksi matematika :
1.
+ 2n adalah bilangan kelipatan 3, untuk n bil. Bulat positif.
Pembuktian :
n3 + 2n adalah
kelipatan 3
Untuk setiap n
bilangan bulat positif
Jawab :
Untuk n = 1
akan diperoleh :
(ii) Pn : 13 + 2(1)
1 = 3 , kelipatan 3
Induksi :
misalkan untuk n = k asumsikan k3 + 2k = 3x
(iii)adib. Untuk n = k + 1 berlaku:
buktikan benar untuk Pn=k+1
(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k3 + 3k2 + 3 k + 1) +
2k + 2
(k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k3 + 2k) + 3 (k2 + k + 1)
Induksi
3x + 3 (k 2 + k
+ 1)
3 (x + k 2 + k
+ 1)
Kesimpulan : n3 + 2n adalah
kelipatan 3
Untuk setiap
bilangan bulat positif n.
2.
n3 + (n+1)3 + (n+2)3 habis dibagi 9 n bil. Asli
pembuktian:
n³ + (n+1)³ + (n+2)³ habis dibagi 9
untuk n bulat positif.
Berarti n paling kecil = 1
untuk n = 1, maka
1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 <== habis dibagi 9
misalkan benar untuk n = k
maka benar bahwa
k³ + (k+1)³ + (k+2)³ habis dibagi 9
hendak dibuktikan bahwa benar untuk n= k+1
yaitu hendak dibuktikan bahwa
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³ habis dibagi 9
(k+3)³ = k³ + 3k².3 + 3k.3² + 3³
=k³ + 9k² + 27k + 27
jadi
(k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³
= (k+1)³ + (k+2)³ + k³ + 9k² + 27k + 27
atur ulang urutannya
= k³ + (k+1)³ + (k+2)³ + 9k² + 27k + 27
tetapi k³ + (k+1)³ + (k+2)³ habis dibagi 9
dan masing-masing suku dari 9k² + 27k + 27
juga habis dibagi 9
Jadi terbukti bahwa (k+1)³ + (k+2)³ + (k+3)³
habis dibagi 9.
Bukti selesai.
3.
2 + 4 + 6 + 8 +
... + 2n = n (n + 1). n bil. Asli
Pembuktian:
untuk n = 1
2
= 1(1+1) ,
2
= 2
untuk n = 2
2+4 = 2(2+1)
6
= 6
untuk n = k
2 + 4 + 6 + . . . .+ 2k = k (k + 1) . . . (1)
untuk n = k + 1
(2 + 4 + 6 + . . .+ 2k) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
nilai yang dalam kurung sama dg persamaan (1)
k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
(k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2)
terbukti.
4.
Buktikan 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ...... + (3n -
1) untuk n bilangan asli
Jawab:
a. untuk n = 1
(3.1
- 1) = 2
b. untuk n = k
= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + .... + (3k - 1)
c. untuk n = k + 1
=
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + .... + (3k - 1) + (3 (k + 1) - 1)
= 3 (k + 1) - 1
= 3k + 3 - 1
= 3k + 2
terbukti.
5.
1.2 +
2.3 + 3.4 + ...
+ n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) /3
Pembuktian :
untuk n=1
1*2 = 1(1+1)(1+2)/3
2 = 2
untuk n = 2
1*2 + 2*3 = 2(2+1)(2+2)/3
8 = 8
untuk n = k
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) /3 .........(1)
untuk n = k + 1
{1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k+1) } + (k+1) (k+1 +1) = (k+1) (k+2) (k+3) /3
nilai dalam { } sama dg persamaan (1)
(k(k+1) (k+2)) /3 + (k+1) (k+1 +1) =
(k+1) (k+2) (k+3)) /3
(k(k+1) (k+2)) /3 + 3 (k+1) (k+1 +1) /3 =
(k+1) (k+2) (k+3) /3
kalikan dengan 3
(k(k+1) (k+2)) + 3 (k+1) (k+2)
= (k+1) (k+2) (k+3)
(k+3) (k+1) (k+2) =
(k+1) (k+2) (k+3) terbukti
6.
Buktikan bahwa
jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2.
Pembuktian :
Basis : Untuk n
= 1 akan diperoleh :
1
= 12
1
= 1
Induksi :
misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 +
5 + …+ (2k – 1) = k2
adib. Untuk n =
k + 1 berlaku :
1 + 3 + 5 + …+
(2 (k + 1) – 1) =
(k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+
(2k + 1) =
(k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+
((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + …+
(2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2
k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2
k 2 + 2K + 1
= k 2 + 2K + 1
Kesimpulan : 1
+ 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2
Untuk setiap
bilangan bulat positif n
2.7 Soal Latihan Teori Binomial
|
1.
|
Ekspansikan
Jawab:
Jikamemakaicararumit, biassajakitamenghitungdengancaramengalikan sebanyak 6 kali. Tapi,
karenarumit, kitagunakanteorema binomial.
= . + . + . + . + . + . + .
= . + . + . + . + . + . + .
= + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. +
|
2.
Tentukansuku ke-3 dariekspansi 5
Jawab :
Suku ke-3 (S3)
=
= 2
= 10
= 1080
3.Tentukan Koefisien x2y3
dari kombinasi ( x + 3y )5
Jawab :
Xn-r . yr = . an-r . br
= .12.33
= . 1 . 27
= . 27
= . 27
= 10 . 27
= 270
4. Sukuke 9 dari(
+ )¹².
Sukuke 9 = )⁴
5. Tentukan
jumlah koefisien dari ( -2x + 5y )6
Jawab :
( -2x + 5y )6 = -2x6
+ 5 2
=
+ 5 5
= -2-60-150-800-150-60+5
=1217
Sumber
:http://tiaraarishandy.blogspot.co.id/2015/04/induksi-matematika.html
