Nilai kebenaran dari
proposisi majemuk ditetukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomika dan
cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
DEFINISI
1.3
Misalkan p dan q adalah proposisi .
(a) Konjungsi
p ˄ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah.
(b) Disjungsi
p ˅ q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar.
(c) Negasi
p, yaitu ̴ p, bernilai benar jika p
salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar.
Salah satu yang praktis
untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran (truth table). Tabel kebenaran
menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik
Tabel
Konjungsi
|
p
|
Q
|
p ˄ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
Tabel
Disjungsi
|
p
|
Q
|
p ˅ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
Tabel
Ingkaran
|
p
|
̴ p
|
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
Contoh
Misalkan
p
: 17 adalah bilangan prima
q
: bilangan prima selalu ganjil
Jelas
bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah, sehingga konjungsi
p
˄ q :17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selaalu ganjil adalah salah.
Contoh
Jika
p, q, dan r adalah proposisi. Bentuklah table kebenaran dari ekspresi logika
(
p ˄ q) ˅ ( ̴ q ˄ r )
Penyelesaian
Ada
3 buah proposisi atomik di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya
mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi
tersebut adalah 2x2x2 = 8 buah. Table kebenaran dari proposisi ( p ˄ q ) ˅
( ̴ p ˄ q ) ditunjukan pada tabel
berikut :
|
p
|
Q
|
r
|
p ˄ q
|
̴ q
|
̴ q ˄ r
|
( p ˄ q ) ˅ ( ̴ q ˄ r )
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi majemuk dapat
selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing
proposisi atomiknya, atau selalau bernilai salah untuk berbagai
kemungkinan nilai kebenaran
masing-masing propossi atomiknya.
DEFINISI
1.4
Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus,
sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untu semua kasus.
Yang dimaksud dengan “semua kasus” di
atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya.
Contoh
Misalkan
p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk p˅ ̴ (p ˄
q) adalah tautologi, sedangkan ( p ˄ q ) ˄
̴ ( p ˅ q ) adalah sebuah
kontradiksi.
|
p
|
Q
|
p ˄ q
|
̴ (p ˄ q)
|
P ˅ ̴ ( p ˄ q)
|
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
p
|
Q
|
p ˄ q
|
p ˅ q
|
̴ (p˅ q)
|
( p ˄ q ) ˄ ̴ ( p ˅ q)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
Adakalanya dua buah
proposisi majemuk dapat dikombinasikan dalam beberapa cara namun semua
kombinasi tersebut selalu menghasilkan tabel kebenaran yang sama. Kita
mengatakan bahwa kedua proposisi majemuk tersebut ekuivalen secara logika. Hal
ini kita definisikan sebagai berikut :
DEFINISI
1.5
Dua buah proposisi majemuk, P(p,q, ..) dan Q(p,q, ..) disebut ekuivalen secara
logika, dilambangkan dengan P(p,q, ..)⇔ Q(p,q, ..) jika keduanya mempunyai
tabel kebenaran yang identik.
Contoh
Perhatikanlah
tabel kebenaran untuk proposisi ̴ ( p ˄
q ) dan proposisi ̴ p ˅ ̴ q. kolom terakhir pada kedua tabel tersebut sama
nilainya (yaitu F,T,T,T), sehingga kita katakana bahwa kedua proposisi tersebut
ekuivalen secara logika, atau ditulis sebagai ̴ (p ˄ q) ⇔
̴ p ˅ ̴ q. bentuk keekuivalenan ini dikenal dengan
hokum De Morgan.
|
p
|
Q
|
p ˄ q
|
̴ ( p ˄ q )
|
|
T
|
T
|
T
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
|
p
|
Q
|
̴ p
|
̴ q
|
̴ p ˅ ̴ q
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar