10 soal dan pembahasan deret (bagian1)

1. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 4 dan bedanya = 3, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah

pembahasan
   a = 3
   b = 4

      

      

2. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, …
Tentukan nilai suku ke-15 !

pembahasan

      

3. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula adalah

pembahasan

suku awal = 3 dan U₆ = 96
U_n = a.r^n-1
96 = 3.r⁵
r⁵ = 32
r = 2
S₆ = a (1-r⁶)/ 1-r
S₆ = 3 (1-2⁶)/ 1-2 = -189/-1 = 189 cm

4. Diberikan sebuah deret:
−10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + ....
Tentukan suku ke-17

pembahasan
a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17

Un = a + (n−1)b
U₁₇ = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54

5. Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah

pembahasan

Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116

a = 20

Un = 116

n = 2

k = 11 bilangan

banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k

       = 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13

 

Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

Keterangan:

b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku

n’ = banyak suku barisan aritmatika baru

n = banyak suku barisan aritmatika lama

k = banyak suku yang disisipkan

Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

6. Tempat duduk gedung pertunjukkan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris dibelakang lebih 4 kursi di baris depannya. Bila dalam gedung pertunjukkan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukkan adalah

pembahasan
a = 20
b = 4
n = 15
Ditanya: Sn
Jawab: Sn = 1/2 n [2a + (n - 1) b] = 1/2 . 15 [2.20 + (15 - 1) 4] = 720 kursi

7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n² + 2n. Beda dari deret itu adalah

pembahasan
Misal n = 1 maka S1 = 1² + 2 . 1 = 3
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b
3 = 1/2 (2a + (1 - 1) b
6 = 2a + 0b = 2a
2a = 6
a = 3
Untuk menentukan beda, misalkan n = 2 maka S2 = 2² + 2 . 2 = 8
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b
8 = 2/2 (2 . 3 + (2 - 1) b
8 = 6 + b
b = 8 - 6 = 2

8. Tempat duduk gedung pertunjukkan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris dibelakang lebih 4 kursi di baris depannya. Bila dalam gedung pertunjukkan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukkan adalah

pembahasan

a = 20
b = 4
n = 15
Ditanya: Sn
Jawab: Sn = 1/2 n [2a + (n - 1) b] = 1/2 . 15 [2.20 + (15 - 1) 4] = 720 kursi

9. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n² + 2n. Beda dari deret itu adalah

pembahasan
Misal n = 1 maka S1 = 1² + 2 . 1 = 3
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b
3 = 1/2 (2a + (1 - 1) b
6 = 2a + 0b = 2a
2a = 6
a = 3
Untuk menentukan beda, misalkan n = 2 maka S2 = 2² + 2 . 2 = 8
Sn = n/2 (2a + (n - 1) b
8 = 2/2 (2 . 3 + (2 - 1) b
8 = 6 + b
b = 8 - 6 = 2

10. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut, tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut, dan tentukan jumlah 10 suku pertama deret aritmatika tersebut!

pembahasan

Un = a + (n − 1)b

maka

U5 = a + (5 − 1)b

14 = a + 4b => a = 14 – 4b

U8 = a + (8 − 1)b

29 = a + 7b

29 = (14 – 4b) + 7b

15 = 3b

b = 5

a = 14 – 4b

a = 14 – 4.5

a = - 6                

Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah –6, dan beda barisannya adalah 5.

Suku ke-12 dari barisan tersebut:

U5 = a + (5 − 1)b

U12 = −6 + (12 − 1)5

U12 = −6 + 11 . 5

U12 = 49

Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis:

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

S10 = (10/2)(2.- 6 + (10 – 1)5)

S10 = 5 . (- 12 + 45)

S10 = 165