Bikondisional ( Bi-implikasi) Beserta Contohnya

“p jika dan hanya jika q” yang dinamakan bikondisional atau bi-implikasi. definisi bikondisional dikemukakan sebagai berikut.

DEFINISI 1.7. misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p q.

peryataan p ↔ q adalah benar bila p dan q mempunyai nilai kenbenaran yang sama, yakni p↔q benar jika p dan q keduanya benar atau

p dan q keduanya salah. tabel kebenaran selangkapnya diperlihatkan pada tabel 1.12 di bawah ini:

P	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

perhatikan bahwa bikondisional p ↔ q ekivalen secara logika dengan Keekivalenan tersebut ditunjukan pada tabel 1.13. Dengaan kata lain, peryataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”

p	Q	p ↔ q	p à q	q à p	(
T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F
F	T	F	T	F	F
F	F	T	T	T	T

Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional p ↔ q dalam kata –kata, yaitu :

a)      p jika dan hanya jika q.

b)      p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

c)      Jika p maka q, dan sebaliknya.

d)     p iff q

Contoh  

Proposisi majemuk berikut adalah bi-implikasi:

a)      1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4

b)      Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban uadara tinggi.

c)      Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.

d)     Bandung terletak diJawa Barat iff Jawa Barat adalah sebuah propinsi di Indonesia.

Contoh

a)      Jika udara diluar panas maka anda membeli es krim, fan jika anda membeli es krim maka udara diluar panas.

b)      Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anada melakukan banyak latihan.

c)      Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anada naik jabatan.

d)     Jika anda lama menonoton televisi maka mata anda akan lelah , begitu sebaliknya.

e)      Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya membutuhkanya

Penyelesaian

a.       Anda membeli es krim jika dan hanay jika udara diluar panas

b.      Anda melakukan banyak latihan adalah syarat perlu dan cukup untuk anda memenangkan pertandingan

c.       anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi

d.      Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi

e.       Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya membutuhkan kereta hari itu.

Contoh

Sebuah pulau didiami oleh dua suku asli. Penduduk suku pertama selalu mengatakan kebohongan. anda tiba di pulau ini dan bertanya kepada seorang penduduk setempat apakah di pulau tersebut ada emas atau tidak. Ia menjawab, “ada emas dipulau ini jiak dan hanya jika saya selalu mengatakan kebenaran”. Apakah ada emas dipulau tersebut?

Penyelesaian

Misalkan

p     : saya selalu mengatakan kebenaran

q     : ada emas di pulau ini

Pernyataan orang tersebut dapat dinyatakan sebagai

p ↔ q

Tinjau kemungkinan dua kasus mengenai orang yang kita tanay tadi. Kasus 1, orang memberi jawaban adalah orang dari suku yang selalu menyatakan hal yang benar. Kasus 1, orang yang memberi jawaban adalah orang dari suku yang selalu menyatakan hal yang bohong. Kita analisis setiap kasus satu persatu sebagai berikut:

Kasus 1 : orang tersebut selalu menyatakan hal yang benar. Ini berati p benar, dan jawabannya terhadap pernyataan kita juga pasti benar, sehingga pernyataan bi- implikasi tersebut bernilai benar. Dari tabel  kita melihat bahwa bila p benar dan p ↔ q benar, maka q harus benar. Jadi, ada emas di pualu tersebutadalah benar.

Kasus2 : orang tersebut selalu menyatakan hal yang bohong. ini berati p salah, dan jawabannya terhadap peryataan kita pati juga salah, sehingga peryataan bi-implikasi tersebut salah. Dari tabel  kita melihat bahwa bila p salah dan  p ↔ q salah, maka q harus benar. Jadi, ada emas di pulau tersebut adalah benar.

Dari kedua kasus, kita selalu berhasil menyimpulakn bahwa ada emas di pulau tersebut , meskipun kita kita tidak dapt memastikan dari suku mana orang tersebut.

Tinjauan kembali bahasan dua buah proposisi majemuk yang ekuvalen secara logika. Kita juga dapat menggunakan definisi bikondisional untuk menyatakan keekivalenan. Ingatlah bikondisional bernilai benar jika kedua proposisi atomiknya mempunyai nilai kebenaran yang sama. oleh karena itu bila dua proposisi majemuk ekivalen di- bikondisional, maka hasilnya adalah tautologi. hal ini menyatakan pada definisi 1.8 berikut ini.

Definisi 1.8 duah proposisi majemuk p(p,q,..) disebut ekivalen secara logika, dilambangkan  dengan p(p,q,..)  Q (p,q,...), jika P ↔ Q adalah tautologi

Contoh

contoh , kita sudah membuktikan bahwa ~ Keekivalenan ini juga dapat kiata tunjukan dengan bikondisionalakan masing-masing proposisi majemuk tersebut. dari tabel  terlihat bahwa ~tautologi, dengan kata lain~

p	Q			~
T	T	T	T	T
T	F	F	F	F
F	T	F	T	F
F	F	T	T	T